Del 1 - Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng)

Regn ut og skriv svaret på standardform $$\frac{5.5 \cdot 10^{-7} + 0.4 \cdot 10^{-6}}{0.005}$$

Steg én blir å sørge for at begge tierpotensene i telleren er av samme grad slik at vi kan faktorisere den. Deretter skriver vi nevneren på standardform, som lar oss forkorte tierpotensene.

$ \begin{align*} & \frac{5.5 \cdot 10^{-7} + 0.4 \cdot 10^{-6}}{0.005} \\ \\ & = \frac{5.5 \cdot 10^{-7} + 4 \cdot 10^{-7}}{5 \cdot 10^{-3}} \\ \\ & = \frac{(5.5 + 4)10^{-7}}{5 \cdot 10^{-3}} \\ \\ & = \frac{9.5 \cdot 10^{-4}}{5} \\ \\ & = \underline{1.9 \cdot 10^{-4}} \end{align*} $

Oppgave 2 (2 poeng)

Bilde tilhørende oppgave 2 i del 1

Bestem en likning for den rette linjen som er tegnet i koordinatsystemet ovenfor.

Vi er ute etter et uttrykk $y = ax + b$, der $$a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0-6}{4-2} = \frac{-6}{2} = -3$$ Fra punktet $(2, \ 6)$ ser vi at $$ \begin{align*} y(2) &= 6 \\ 6 &= -3 \cdot 2 + b \\ b &= 12 \end{align*} $$ Likninga til linja er altså $\underline{y = -3x + 12}$.

Oppgave 3 (2 poeng)

Løs likningssystemet $$ \begin{bmatrix} 2x + y &=& 3 \\ 8x-2y &=& -12 \end{bmatrix} $$

Fra den første likninga får vi $y = 3-2x$, og setter det inn i den andre likninga, som gir $$ \begin{align*} 8x - 2(3-2x) &= -12 \\ 12x - 6 &= -12 \\ x &= -\frac12 \end{align*} $$ Setter denne $x$-verdien inn i en av likninge for å finne $y$. $$ \begin{align*} y &= 3-2x \\ y &= 3-2(-\frac12) \\ y &= 4 \end{align*} $$ Løsning: $\displaystyle \underline{x = -\frac12, \ y = 4}$

Oppgave 4 (2 poeng)

Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig $$\frac2{x-2} - \frac{x-4}{x^2 - 5x + 6}$$

Faktoriserer $x^2 - 5x + 6$ ved nullpunktsmetoden og andregradsformelen. $$ \begin{align*} & x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ & = \frac{5 \pm 1}{2} \\ & \Rightarrow \ x=2 \vee x=3 \end{align*} $$ Så $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. Da kan vi utvide den første brøken med $(x-3)$ slik at den også har begge faktorene i nevner. $$ \begin{align*} & \frac2{x-2} - \frac{x-4}{x^2 - 5x + 6} \\ \\ &= \frac{2(x-3)}{(x-2)(x-3)} - \frac{x-4}{(x-2)(x-3)} \\ \\ &= \frac{2(x-3)-(x-4)}{(x-2)(x-3)} \\ \\ &= \frac{\cancel{x-2}}{\cancel{(x-2)}(x-3)} \\ \\ &= \underline{\frac1{(x-3)}} \end{align*} $$

Oppgave 5 (2 poeng)

Løs ulikheten $$2x^2 + 12x + 18 \leq 0$$

Vi faktoriserer andregradsuttrykket med andregradsformelen, men først deler vi gjennom ulikheten med 2, og får $x^2 + 6x + 9 \leq 0$. $$ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3 $$ Uttrykket har bare ett nullpunkt, og vi får dermed at $$2x^2 + 12x + 18 = 2(x+3)^2$$ Siden $(x+3)^2$ aldri kan bli negativ, ser vi at uttrykket i sin helhet aldri blir mindre enn 0. Eneste løsning er $\underline{x=-3}$, der uttrykket er nøyaktig $0$, og løser ulikheten.

Oppgave 6 (2 poeng)

Skriv så enkelt som mulig $$\frac{\sqrt{45} + \sqrt{80}}{\sqrt{125}}$$

Observerer at $$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt5$$ og at $$\sqrt{80} = \sqrt{16\cdot 5} = 4\sqrt4$$ og til slutt $$\sqrt{125} = \sqrt{25\cdot5} = 5\sqrt5$$ Vi kan dermed forenkle uttrykket $$ \begin{align*} &\frac{\sqrt{45} + \sqrt{80}}{\sqrt{125}} \\ \\ &= \frac{3\sqrt5 + 4\sqrt5}{5\sqrt5} \\ \\ &= \frac{7\cancel{\sqrt5}}{5\cancel{\sqrt5}} \\ \\ &= \frac75 \end{align*} $$

Oppgave 7 (2 poeng)

Skriv så enkelt som mulig $$9^2 \cdot 3^{-3} \cdot 8^{\frac13} \cdot 27^{-\frac23}$$

$$ \begin{align*} & 9^2 \cdot 3^{-3} \cdot 8^{\frac13} \cdot 27^{-\frac23} \\ \\ &= (3^2)^2 \cdot 3^{-3} \cdot (2^3)^{\frac13} \cdot (3^3)^{-\frac23} \\ \\ &= 3^4 \cdot 3^{-3} \cdot 2 \cdot 3^{-2} \\ \\ &= 3^{-1} \cdot 2 = \underline{\frac23} \end{align*} $$

Oppgave 8 (2 poeng)

Skriv så enkelt som mulig $$\lg10 + \lg0.1 + \lg \frac1{100} + \lg\sqrt[3]{10}$$

$$ \begin{align*} \lg10 + \lg0.1 + \lg \frac1{100} + \lg\sqrt[3]{10} &= \lg10 + \lg10^{-1} + \lg10^{-2} + \lg10^{\frac13} \\ \\ &= \cancel{1 -1} - 2 + \frac13 \\ \\ &= \underline{-\frac53} \end{align*} $$

Oppgave 9 (4 poeng)

Løs likningene $$ \begin{align*} a) & \quad \lg\left(\frac{3x-3}{3}\right) = 3 \\ \\ b) & \quad 3^{x^2} \cdot 3^{-4x} = 1 \end{align*} $$

$a)$ Merk at $3 = \lg(1000)$. Det betyr at likningen kan skrives som $$ \begin{align*} \lg\left(\frac{3x-3}{3}\right) &= \lg(1000) \\ \\ \frac{3x-3}{3} &= 1000 \\ \\ x &= 999 \end{align*} $$ $b)$ $$ \begin{align*} 3^{x^2} \cdot 3^{-4x} &= 1 \\ \\ 3^{x^2 - 4x} &= 3^0 \\ \\ x^2 - 4x &= 0 \\ \\ x(x-4) &= 0 \\ \\ x=0 &\vee x = 4 \end{align*} $$

Oppgave 10 (2 poeng)

Bilde tilhørende oppgave 10 i del 1

Gitt figuren ovenfor. Vis hvordan vi kan bestemme arealet av det skraverte området på to ulike måter. Figuren illustrerer en matematisk setning. Hvilken setning er det?

Det skraverte arealet er et kvadrat med sidelengde $a-b$ og arealet er da $A = (a-b)^2$

Alternativt kan vi observere at hele kvadratet har sidelengder $a$, med areal $a^2$. Det består samtidig av flere innvendige firkanter, og kan skrive det totale arealet som summen av de små arealene. $$a^2 = b \cdot a + b^2 + (a-b)^2 + a \cdot b$$ Lar $(a-b)^2$ stå alene på den ene siden og får $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ Dette er andre kvadratsetning!

Oppgave 11 (2 poeng)

Du får vite følgende om en trekant $ABC$: $$ \begin{align*} \angle B &= 90^\circ \\ AC &= 4 \text{cm} \\ \tan \angle A &= 1 \end{align*} $$ Lag en skisse som viser hvordan trekanten ser ut. Bestem lengden av AB og BC eksakt.

Skisse av trekanten fra oppgave 11 i del 1.

Vinkelsummen i en trekant er $180^\circ$, så $\angle C = 45^\circ$. Vi har altså en $45-45-90$-trekant, og vet derfor at katetene $AB$ og $BC$ er like lange. La oss kalle denne lengda $x$. Fra Pytagoras: $$ \begin{align*} &x^2 + x^2 &= (4 \text{cm})^2 &= 16 \text{cm}^2\\ &x^2 &= 8\text{cm}^2 \\ &x &= \sqrt8 \text{cm} \\ &x &= 2\sqrt2 \text{cm} \end{align*} $$

Oppgave 12 (2 poeng)

Bilde av en hengelås med tre siffer, tilhørende oppgave 12, del 1.

Maria finner en gammel hengelås. Koden på hengelåsen består av tre tall. Hvert tall kan velges blant de hele tallene fra og med 0 til og med 9. Bestem sannsynligheten for at koden begynner med 2 4 eller 4 2.

$$P(2, \ 4) = \frac1{10} \cdot \frac1{10} = \frac1{100}$$ $$P(4, \ 2) = \frac1{10} \cdot \frac1{10} = \frac1{100}$$ $$P(2, 4 \ \text{eller} \ 4, 2) = \frac{1}{100} + \frac1{100} = \underline{\frac{1}{50}}$$

Oppgave 13 (4 poeng)

Bilde av en likesidet trekant.

$a)$ Bruk $\triangle ABC$ ovenfor til å vise at $\sin30^\circ = \frac12$

$a)$ Markerer midtpunktet på linja $AB$ og kaller det $M$. Deretter kan vi trekke en linje $CM$. Vi får da en rettvinklet trekant $\triangle AMC$ med hypotenus $AC$. Vi kan la $AC = 1$ uten tap av generalitet, og $AM = \frac12$. Det vil se slik ut:

Trekanten fra oppgaven med ekstra vertikal linje.

Hvis vi tar utgangspunkt i den $30^\circ$ vinkelen i $\angle ACM$, så ser vi at $$ \begin{align*} \sin(30^\circ) &= \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} \\ \\ &= \frac{AM}{AC} \\ \\ &= \frac{\frac12}{1} \\ \\ &= \frac12 \end{align*} $$ som var det vi ønsket å vise.

Oppgave 13b

Bilde av en trekant.

$b)$ Bestem lengden av siden $QR$ i $\triangle PQR$ ovenfor.

Fra cosinussetningen: $$ \begin{align*} (QR)^2 &= 8^2 + 5^2 - 2 \cdot8 \cdot5 \cdot \cos(60^\circ) \\ \\ &= 64 + 25 + 80 \cdot \frac12 \\ \\ &= 49 \\ \\ &\Rightarrow QR = \sqrt{49} = \underline7 \end{align*} $$

Oppgave 14 (4 poeng)

Bilde av fire funksjoner.

Ovenfor ser du grafene til fire funksjoner, $p, \ q, \ r, \ s$.

Hvilken av grafene nedenfor er grafen til den deriverte av p?

Hvilken av grafene nedenfor er grafen til den deriverte av q?

Hvilken av grafene nedenfor er grafen til den deriverte av r?

Hvilken av grafene nedenfor er grafen til den deriverte av s?

Bilde av seks funksjoner.

Grafen til den deriverte av $p$ må være positiv frem til $x \approx 0.5$, negativ frem til $x \approx 1.5$ og positiv etter. Graf $2$ er den deriverte av $p$.

$q$ er stigende med konstant vekstfart, som betyr at den deriverte er en konstant funksjon med positiv verdi. Graf $4$ er den deriverte av $q$.

$r$ er synkende når $x<0$ og stigende når $x>0$, og flat når $x=0$. Den deriverte må da være negativ når $x<0$ og positiv når $x>0$, og lik null når $x=0$. Graf $5$ er den deriverte av $r$.

$s$ er synkende overalt, så dens deriverte må være negativ overalt. Graf $3$ er den deriverte av $s$.

Oppgave 15 (2 poeng)

Bilde av grafen til en tredjegradsfunksjon.

Ovenfor ser du grafen til en tredjegradsfunksjon $f$.

  • Grafen har et terrassepunkt i $(2, 8)$
  • Likningen for tangenten til grafen i punktet $(1, 7)$ er $y = 3x+4$
  • Likningen for tangenten til grafen i punktet $(4, 16)$ er $y = 12x-32$

Tegn grafen til den deriverte av funksjonen $f$.

Vi observerer at den deriverte må være lik null i terrassepunktet, $x=2$, og videre at $f'(1) = 3$, og $f'(4) = 12$. I tillegg ser vi at bortsett fra terrassepunktet, så er grafen hele tiden stigende, som betyr at den deriverte kun skal ha et nullpunkt i $x=2$, og være positiv ellers.

Merk: Når man blir bedt om å tegne en funksjon for hånd, så er det aldri forventet at den skal være perfekt. Vi tar utgangspunkt i de punktene vi faktisk har verdier for, og fyller inn resten etter skjønn.

Bilde av grafen til en tredjegradsfunksjon.

Del 2 - Med hjelpemidler

Oppgave 1 (8 poeng)

Bilde av et metallstykke som bearbeides av en smed.

En smed skal bearbeide et metallstykke. Funksjonen $T$ gitt ved $$T(x) = 470 \cdot 0.95^x + 30 \quad , \quad x \in [0, 120]$$ viser temperaturen $T(x)$ grader celsius $(^\circ C)$ i metallstykket $x$ minutter etter at smeden har tatt det ut av ovnen.

$a)$ Tegn grafen til T.

Vi tegner funksjonen i Geogebra, og passer på å bruke grensene, siden $x$ kun skal være mellom 0 og 120.

T(x) := Funksjon(470 * 0.95^x + 30, 0, 12)

Bilde av T(x) tegnet i Geogebra.

Oppgave 1b

$b)$ Hva er temperaturen i metallstykket når smeden tar det ut av ovnen?

Dette vil være tidspunktet der $x=0$. Temperaturen er da $T(0) = 500^\circ C$.

Oppgave 1c

Metallet lar seg bare bearbeide når temperaturen er $150^\circ C$ eller høyere.

$c)$ Hvor lang tid har smeden på seg til å bearbeide metallstykket etter at han har tatt det ut av ovnen?

Vi markerer linja $y=150$ og finner ut hvor den skjærer $T(x)$.

y=150

Skjæring(T(x), y=150)

Bilde av Geogebra med skjæring mellom T(x) og linja y=150

Vi ser at $x \approx 26.62$ er det tidspunktet der temperaturen har gått ned til 150 grader. Altså har smeden ca. 26 og et halvt minutt på seg til å bearbeide metallstykket.

Oppgave 1d

Smeden har utført noen beregninger. Se nedenfor.

Smedens beregninger tilhørende oppgave 1d

Hvilke tall skal stå under de svarte sirklene merket A, B, C og D?

Beregninger i CAS tilhørende oppgave 1d

Linjene 2, 3, 4, 5 er løsningene på A, B, C, D respektivt. Merk at jeg bruker engelsk versjon av Geogebra men i norsk versjon trenger du bare å oversette "Function" til "Funksjon", og "NSolve" til "NLøs".

Den lange verdien i linje 5 kan fås enkelt ved å klikke på verdien i linje 4. Merk at alle verdiene er tilnærminger, men hvis man klikker på dem, så får man en mer nøyaktig verdi å bruke i neste linje.

Oppgave 2 (4 poeng)

Bilde av hengelåser

En fabrikk produserer hengelåser med to maskiner, maskin A og maskin B.

  • Maskin A produserer dobbelt så mange hengelåser som maskin B.
  • Det har vist seg at det er feil ved 5% av hengelåsene fra maskin A, og ved 2% av hengelåsene fra maskin B.

En dag produserer bedriften 300 hengelåser.

a) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell.

Bilde av hengelåser

Oppgave 2b

Tenk deg at du tilfeldig tar en hengelås som er produsert denne dagen

Bestem sannsynligheten for at det er en feil ved hengelåsen.

Fra krysstabellen ser vi at det er totalt 12 hengelåser med feil, av totalt 300 produserte hengelåser. $$P(\text{feil}) = \frac{12}{300} = \underline{\frac1{25}}$$

Oppgave 2c

Det viser seg at det er feil ved hengelåsen du har tatt.

Bestem sannsynligheten for at denne hengelåsen da er produsert av maskin A.

Vi har tatt en av de 12 hengelåsene med feil på. Av dem er 10 produsert av maskin A. $$ P(\text{Maskin A}) = \frac{10}{12} = \underline{\frac56}$$

Oppgave 3 (4 poeng)

Funksjonen $f$ er gitt ved $$f(x) = ax^3 - bx - 2$$ Grafen til $f$ har et toppunkt i $(2, 6)$.

a) Forklar at dette gir de to likningene $$ \begin{align*} 12a - b &= 0 \\ 8a - 2b - 2 &= 6 \end{align*} $$

Punktet forteller oss at $$ \begin{align*} f(2) &= 6 \\ a \cdot 2^3 - 2b - 2 &= 6 \\ 8a - 2b - 2 &= 6 \end{align*} $$ Dersom $f$ har et toppunkt når $x=2$, så betyr det at den deriverte er null her. $$ \begin{align*} f'(x) &= 3ax^2 - b \\ f'(2) &= 0 \\ 3a \cdot 2^2 - b &= 0 \\ 12a - b &= 0 \end{align*} $$ som vi ønsket å vise.

Oppgave 3b

Bestem a og b.

Bilde av CAS-løsning i Geogebra for oppgave 3b

Linje 4 viser løsningen: $a = -\frac12, \quad b = -6$.

Oppgave 4 (4 poeng)

Bilde av trekant til oppgave 4 i del 2

Gitt trekanten ovenfor. $AB = 4\sqrt5, \ BC = 10\sqrt2, \ AC = 6\sqrt{10}$. Bestem eksakte verdier for $\cos A$ og $\sin C$.

Vi ser at alle sidene er kjent, og husker at cosinussetningen da kan gi oss en hvilken som helst av vinklene vi ønsker. Velger vinkel A. Den siden som ikke berører denne vinkelen er $10\sqrt2$, som da blir stående alene på den ene siden av likhetstegnet. $$\left( 10\sqrt2 \right)^2 = \left( 6\sqrt{10} \right)^2 + \left( 4\sqrt5 \right)^2 - 2\cdot 6\sqrt{10} \cdot 4\sqrt5 \cdot \cos A$$ Vi setter dette inn i CAS, og lar den løse denne likninga for oss, slik at vi finner ut hva $\cos A$ er. Se linje 1 i CAS-løsning nedenfor. Merk at vi nå har en variabel ved navn "cosA". Dette er ikke et faktisk uttrykk for cosinus-verdien av A. Men i linje 2 bruker vi den funne verdien til å løse for A. Vi får to mulige verdier, men vi har ikke negative vinkler i trekanten så vi ser bort fra den.

I linje 3 bruker vi Sinussetningen for å finne $\sin C$ ved hjelp av at vi nå vet at $A=45^\circ$.

Bilde av løsning i CAS til oppgave 4 i del 2

Oppgave 5 (4 poeng)

Pantheon er et tempel i Roma. En del av tempelet er formet som en sylinder med en halvkule på toppen. Høyden i sylinderen er lik radius i halvsirkelen. Skissen nedenfor viser et tverrsnitt av bygningen.

Skisse av Pantheon til oppgave 5 i del 2

Øverst i Pantheon er en sirkelformet åpning som kalles oculus (øye). Oculus har diameter $AB$ og sentrum i $P$. Halvkulen har sentrum i $Q$ og radius $r=QA=QB=21.65\text{cm}$. $\angle PQA = \angle BQP = 12^\circ$.

a) Bruk trigonometriske beregninger til å vise at diameteren til oculus er 9m.

Solstrålene slipper inn gjennom oculus. Se skissen nedenfor.

Skisse av sollys i Pantheon til oppgave 5 i del 2

b) Bruk trigonometriske beregninger til å bestemme hvor stor vinkelen $v$ minst må være for at solstråler skal treffe gulvet i Pantheon.

a) Vi ser at AP er radien til oculus, og vi kan finne denne ved å bruke definisjonen av sinus i den rettvinklede trekanten $\triangle APQ$. Diameteren AB er da den dobbelte av radien AP.

Løsning i CAS til oppgave 5a i del 2

b) Vi tegner en hjelpefigur med sollyset vinklet slik at den akkurat treffer hjørnet mellom veggen og gulvet. Vi er altså ute etter å finne hvilken $\angle v$ som oppfyller dette.

Av denne skissa ser vi at $\angle v$ oppe ved punkt A, er den samme som $\angle v$ nede i hjørnet av Pantheon. Vi kan derfor bruke trekanten $\triangle ATH$ for å regne ut denne vinkelen. Se CAS-løsning med forklaring nedenfor.

Skisse av sollys i Pantheon til oppgave 5b i del 2 Løsning i CAS til oppgave 5b i del 2

Linje 1: Innfører lengda PQ ved bruk av cosinus i den rettvinklede trekanten $\triangle APQ$.
Linje 2: Innfører TH som den fulle høyda av Pantheon. Merk at høyda av sylinderen er 21.65, oppgitt i teksten.
Linje 3: Innfører lengda fra gulvet rett under A, bort til hjørnet. Dette gir oss nå den rettvinklede trekanten $\triangle ATH$ som vi bruker til å regne ut $\angle v$.
Linje 4: Regner ut vinkelen med tangens, siden vi kjenner lengda av katetene i trekanten.