Eksempel

Noen ganger er det fint å starte med et eksempel, slik at vi ser målet og nytteverdien.

Si vi har ei likning som ser slik ut: $$3x^2 + 6x - 24 = 0$$ Andregradsformelen gir oss en rett-frem formel for å løse denne likninga uten å måtte gjøre noe annet enn å sette inn koeffisientene og konstant-leddet. Formelen sier at $$ax^2 + bx + c = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Det vi ser her er at $a$ er koeffisienten på andregradsleddet $x^2$, $b$ er koeffisienten til førstegradsleddet $x$, og $c$ er konstantleddet. Og vi ser at kriteriet er at alt er flyttet over på den ene sida, slik at den andre sida bare har 0.

Gitt vår likning $$3x^2 + 6x - 24 = 0$$ så kan vi se at $a = 3, \ b = 6, \ c = -24$. Og når vi setter dette inn i formelen får vi $$ \begin{align*} x &= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-24)}}{2 \cdot 3} \\ \\ &= \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 288}}{6} \\ \\ &= \frac{-6 \pm \sqrt{324}}{6} \\ \\ &= \frac{-6 \pm 18}{6} \end{align*} $$ Tegnet $\pm$ betyr "pluss eller minus", og forteller oss at det finnes to løsninger her. En løsning dersom vi erstatter tegnet med pluss, og en løsning dersom vi erstatter tegnet med minus. La oss kalle de to løsningene $x_1$ og $x_2$. $$x_1 = \frac{-6 + 18}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ $$x_2 = \frac{-6 - 18}{6} = \frac{-24}{6} = -4$$ Med andre ord har vi løsningene $x=2$ og $x=(-4)$ til likninga $3x^2 + 6x - 24 = 0$. Vi setter prøve på det ene svaret. La oss teste at $x=2$ faktisk løser likninga. Venstre side gjennomgår følgende utregning. $$ \begin{align*} 3x^2 + 6x - 24 &= 3\cdot2^2 + 6\cdot2 - 24 \\ &= 12 + 12 - 24 \\ &= 24-24 \\ &= 0 \end{align*} $$ Vi ser at venstre side ender opp som 0, som er det høyre side i likninga allerede var, og vi har bekreftet at $x=2$ løser likninga. Prøv gjerne selv med $x=(-4)$.

Bevis

Her skal vi gjennomgå et bevis for andregradsformelen. Jeg har tilfeldigvis også laget en video hvor beviset gjennomgås hvis du foretrekker det. Se videogjennomgang av beviset her. Om du foretrekker å se det skriftlig, så er det bare å fortsette å lese.

Så hvor kommer denne formelen fra, som så enkelt løser slike likninger? Det er noe man kan oppdage ved å starte med den generelle formen for likningstypen man ønsker å løse, og deretter anvende algebra for å prøve å få $x$ alene på den ene siden av likhetstegnet. La oss se på hvordan det kan gjøres: $$ax^2 + bx + c = 0$$ Hvis man prøver å isolere $x$ bare ved å addere/subtrahere/multiplisere/dividere, så vil man gjerne oppleve problemer. Gi det gjerne et forsøk. Det er fint å kunne gjenkjenne hvorfor det er så vanskelig.

Fordi vi har både et andregradsledd, og et førstegradsledd, så blir det vanskelig å snu likninga på formen $$x = \ldots$$ med bare en enkel $x$ på den ene sida. Men et fint verktøy vi kan bruke, er å fullføre kvadratet. Det vil gi oss et uttrykk på formen $$(x+k)^2 + m$$ der $k, m$ er vilkårlige konstanter. Og et slikt uttrykk kan enkelt konverteres til $x = \ldots$.

La oss starte der. Vi har $$ax^2 + bx + c = 0$$ Det første vi trenger, er å bli kvitt $a$, som er koeffisienten på andregradsleddet. Eller med andre ord, vi ønsker at den skal være 1. Så vi deler gjennom likninga med $a$, og får $$x^2 + \frac ba x + \frac ca = 0$$ Herfra trekker vi fra $\frac ca$ på begge sider, slik at vi kun har ledd med $x$ igjen på venstre side. $$x^2 + \frac ba x = - \frac ca$$ Når vi skal fullføre kvadratet, i tilfelle du ikke har vært gjennom det, eller har glemt det, så ser vi på koeffisienten på førstegradsleddet. Det er $\frac ba$. Vi deler det på 2, og får $\frac b{2a}$. Deretter adderer vi kvadratet av det på begge sider av likninga. $$x^2 + \frac ba x + \left( \frac b{2a} \right)^2 = -\frac ca + \left( \frac b{2a} \right)^2$$ Nå kan vi se at venstre side er et perfekt kvadrat. For enkelhets skyld, la oss innføre $d = \frac{b}{2a}$ for å se det lettere. $$x^2 + 2dx + d^2$$ Ved første kvadratsetning ser vi at $$x^2 + 2dx + d^2 = (x+d)^2$$ så vi kan skrive om venstre side av likninga. $$ \begin{align*} x^2 + \frac ba x + \left( \frac b{2a} \right)^2 &= -\frac ca + \left( \frac b{2a} \right)^2 \\ \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 &= -\frac ca + \left( \frac b{2a} \right)^2 \end{align*} $$ $x$ oppstår bare som et førstegradsledd, og da skal vi kunne isolere det lettere.

Vi må nå "pakke ut" x'en, så vi starter med å ta kvadratrota på begge sider. $$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{-\frac ca + \left( \frac b{2a} \right)^2}$$ Vi ønsker å få $x$ alene, så vi subtraherer $\frac{b}{2a}$ på begge sider. $$x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{-\frac ca + \left( \frac b{2a} \right)^2}$$ Dette er faktisk formelen! Vi ser at nå har vi et uttrykk som lar oss finne $x$, gitt at vi ved $a, b, c$. Men uttrykket kan forenkles og gjøres litt penere. Vi tar kvadratrotuttrykket, og ganger det med $\frac{2a}{2a}$ slik at det blir en brøk med $2a$ i nevner, slik som det første leddet. $$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{2a\sqrt{-\frac ca + \left( \frac b{2a} \right)^2}}{2a}$$ Og nå kan vi addere/subtrahere brøkene. $$x = \frac{-b \pm \sqrt{(2a)^2\left(-\frac ca + \left( \frac b{2a} \right)^2 \right)}}{2a}$$ Vi forenkler uttrykket inni kvadratrota litt til. $$ \begin{align*} (2a)^2\left(-\frac ca + \left( \frac b{2a} \right)^2 \right) &= -\frac ca \cdot (2a)^2 + \frac{b^2}{\cancel{(2a)^2}} \cdot \cancel{(2a)^2} \\ \\ &= -\frac ca \cdot 4a^2 + b^2 \\ \\ &= b^2 - 4ac \end{align*} $$ Vi setter dette tilbake inn i kvadratrota, og får følgelig $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ og vi kan nå bruke formelen med god samvittighet!

Mer informasjon

Les videre om noen spesielle tilfeller av andregradslikninger.

Dersom mellomregninga var vanskelig å henge med på, så finnes det hjelpemidler.
  • Se videogjennomgang av beviset her, der jeg forklarer hvert steg litt nærmere.
  • Pass på at du ikke har hull i algebra-kunnskapene. Videoene fra kapittel 2, 3 og 4 fra 1T-spillelista går gjennom all algebraen som trengs for å henge med på dette beviset.
  • Dersom du har gjort de to punktene ovenfor kan du sende meg en epost på aleksander@udl.no og forklar så nøye som mulig hva det er som gjør at du står fast. Jeg hjelper deg gjerne.

Alle disse punktene er selvfølgelig gratis.