Andregradslikninger uten konstantledd
Hva skjer hvis likninga er $$x^2 + 2x = 0$$ Det finnes et par forskjellige måter vi kan takle dette på. Den ene er å bruke andregradsformelen som vanlig, med $a=1, \ b=2, \ c=0$. Vi får $$ \begin{align*} x &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot0}}{2} \\ \\ &= \frac{-2 \pm 2}{2} \\ \\ &= -1 \pm 1 \end{align*} $$ som gir oss løsningene $x_1 = 0, \quad x_2 = -2$.
En alternativ, og raskere metode, vil være å bare faktorisere uttrykket. Vi kan forbigå andregradsformelen helt. $$ \begin{align*} x^2 + 2x &= 0 \\ \\ x(x+2) &= 0 \end{align*} $$ Vi har en produktregel som sier at hvis et produkt er lik 0, så er en eller flere av faktorene i produktet lik null. Med andre ord, dersom $x(x+2) = 0$, så må $x=0$ eller $x+2 = 0$. Sistnevnte har løsningen $x=-2$, og vi ser da at vi har fått de samme svarene som vi fikk med andregradsformelen!
Andregradslikninger uten førstegradsledd
La oss si vi har likninga $$4x^2 - 5 = 0$$ I dette tilfellet kan vi fremdeles bruke andregradsformelen med $a = 4, \ b=0, \ c=(-5)$, og få svarene som vanlig. Men vi kan også bruke annen algebra. Vi kan skrive begge leddene som et kvadrat, og bruke tredje kvadratsetning, også kjent som konjugatsetninga. $$ \begin{align*} 4x^2 - 5 &= 0 \\ \\ (2x)^2 - \left( \sqrt5 \right)^2 &= 0 \\ \\ (2x-\sqrt5)(2x+\sqrt5) &= 0 \end{align*} $$ Igjen kan vi bruke produktregelen, og får de to likningene $2x-\sqrt5=0$ og $2x+\sqrt5=0$ som har løsningene $$x_1 = \frac{\sqrt5}2, \quad x_2 = -\frac{\sqrt5}2$$ Merk, dette ville ikke latt seg gjort dersom likninga var $$4x^2 + 5 = 0$$ fordi vi kan ikke bruke konjugatsetninga når begge leddene er positive. Dette gjenspeiler seg også i det faktum at $4x^2 + 5$ ALLTID er større enn 0, og likninga har ingen reell løsning. Dette skal vi se nærmere på nå!
Andregradslikninger uten løsning
I andregradsformelen har vi en kvadratrot, nemlig $$\sqrt{b^2 - 4ac}$$ Et problem kan oppstå dersom uttrykket under kvadratrota blir negativt, fordi vi kan ikke ta kvadratrota av negative tall. (*) Med andre ord, dersom $$b^2 - 4ac < 0$$ så har likninga ingen reell løsning. Et eksempel kan være $$4x^2 + x + 5 = 0$$ Vi setter $a=4, \ b=1, \ c=5$ inn i andregradsformelen, og får $$ \begin{align*} x &= \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4} \\ \\ &= \frac{-1 \pm \sqrt{-79}}{8} \end{align*} $$ og her stopper det opp, fordi vi ikke enda har verktøyene for å regne med kvadratrota av et negativt tall.
Andregradslikninger med bare én løsning
Dersom uttrykket under kvadratrota ender opp med å være 0, så får vi ikke to forskjellige løsninger, fordi $\pm 0$ gir ikke to forskjellige verdier. Eksempelvis, ta likninga $$x^2 - 6x + 9 = 0$$ Vi bruker andregradsformelen med $a=1, \ b=(-6), \ c=9$ og får $$ \begin{align*} x &= \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} \\ \\ &= \frac{6 \pm \sqrt 0}{2} \\ \\ &= \frac{6 \pm 0}{2} \\ \\ &= \frac62 \\ \\ &= 3 \end{align*} $$ Enten vi adderer eller subtraherer 0, så står vi uansett bare igjen med 3 som eneste løsning.
Se hvor mange løsninger likninga har, uten å regne dem ut
For å oppsummere, så ser vi at bare ved å betrakte uttrykket under kvadratrota, så kan vi avgjøre hvor mange løsninger likninga har.
- $b^2 - 4ac > 0$ betyr at vi har to løsninger
- $b^2 - 4ac = 0$ betyr at vi har én løsning
- $b^2 - 4ac < 0$ betyr at vi har ingen løsning
Mer informasjon
Jeg har laget mange videoer om likninger generelt, inkludert andregradslikninger, som du kan se som en del av kurset i 1T Matematikk. Se spesielt på kapitlene 2, 3 og 4. Alt er naturligvis gratis der også.
(*) Når vi sier at en andregradslikninger ikke har noen løsning, så mener vi at den ikke har noen reell løsning. Vi KAN ta kvadratrota av negative tall, men det tar oss ut på et emne som kalles "komplekse tall". Det er ikke så komplisert som navnet tilsier, og du kan se videoene jeg har laga om slike tall her. Merk også at vi her kan lære å løse andregradslikningene som er beskrevet som "uten løsning" lengre opp i artikkelen. Dette er fordi løsningene ligger i det som kalles "det komplekse planet", og er tall man ikke finner på den reelle tallinja. Dette er høyskolepensum, men typisk første semester, så det er ikke stort vanskeligere enn VGS, bare annerledes.
Dersom du har spørsmål eller kommentarer til artikkelen, så kan du ta kontakt ved å sende meg en epost på aleksander@udl.no.
Har du spørsmål?
Hvis du har spørsmål eller ønsker å diskutere innholdet her, ta gjerne kontakt på Discord eller e-post. Kontaktinfo her.