Eksempel

Vi starter med et eksempel, så tar vi alt det teoretiske etterpå.

Oppgave: Finn likninga til den rette linja som går gjennom punktet $(2, 7)$ og har stigningstall $a = 3$.

Løsning: Vi bruker ettpunktsformelen $$y-y_1 = a(x - x_1)$$ der $x_1=2$ og $y_1 = 7$ fra punktet $(2, 7)$ gitt i oppgaven. $$\displaystyle \begin{align} y - 7 &= 3(x-2) \\ y-7 &= 3x - 6 \\ y &= 3x + 1 \end{align}$$ Så likninga er $\underline{\underline{y = 3x+1}}$.

Graf til linja y=3x+1

Hvorfor skal vi lære om ettpunktsformelen?

Først og fremst, la oss huske at likninga for ei rett linje er $$y = ax + b$$ der $a$ er stigningstallet til linja (med andre ord hvor bratt den er, og om den går oppover eller nedover), og $b$ er høyda den har når den skjærer y-aksen.

Det finnes flere måter vi kan finne likninga for ei rett linje. For eksempel hvis vi har oppgitt to eller flere punkter på linja, så kan vi blant annet sette opp et likningssett med to likninger, og to ukjente, $a$ og $b$.

Et annet tilfelle er der du har fått oppgitt kun ett punkt på linja, men du har i tillegg fått oppgitt stigningstallet, og det er her vi kan bruke ettpunktsformelen

Hvor kommer formelen fra?

Vi starter med den generelle formelen for ei rett linje; $y = ax + b$.

Vi har i tillegg oppgitt et kjent punkt på linja, $(x_1, \ y_1)$. Det gir den spesifikke likninga $$\begin{align} y_1 &= ax_1 + b \\ b &= y_1 - ax_1 \end{align}$$

Vi setter dette uttrykket for $b$ inn i den generelle likninga og får $$\begin{align} y &= ax + \overbrace{(y_1 - ax_1)}^b \\ y &= ax + y_1 - ax_1 \\ y - y_1 &= a(x-x_1) \end{align}$$ Og der har vi ettpunktsformelen.

Videoer

Har du lyst til å se noen videoer med forklaring og eksempler? Du kan i så fall starte her.