Før du lærer om heltallsmetoden er det viktig at du er kjent med, og kan å bruke ABC-formelen. Det høres kanskje rart ut, men heltallsmetoden er en teknikk der vi gjør det ABC-formelen gjør, uten å bruke ABC-formelen!
Hva er heltallsmetoden?
Heltallsmetoden er en måte å faktorisere "enkle" andregradspolynomer på formen $x^2 + bx + c$ uten å behøve å bruke andregradsformelen. Det gjør det en del raskere å regne, som er nyttig for de oppgavene der man må faktorisere et andregradspolynom som en del av en større oppgave.
Teorien, kort fortalt
Si vi har uttrykket $(x+m)(x+n)$ der $m$ og $n$ er reelle tall. Hvis vi ganger ut denne parentesen får vi
$$ \begin{align*} (x+m)(x+n) &= x^2 + mx + nx + mn \\ &= \boxed{x^2 + (m+n)x + mn} \end{align*} $$
Dette er et andregradsuttrykk på formen $x^2 + bx + c$ der $b = m+n$ og $c = m\cdot n$.
Hvis vi tenker på dette "baklengs", så kan vi si at hvis vi har uttrykket $x^2 + bx + c$ så kan vi faktorisere det til $(x+m)(x+n)$ ved å finne tallene $m, n$ slik at summen av dem blir lik $b$, og produktet lik $c$.
Vi får samtidig et annet viktig hint: c-leddet må være delelig på både m og n. Så for eksempel, hvis $c=8$, så må m og n kunne finnes blant tallene 1, 2, 4 og 8 (eller deres negative motparter), fordi det er disse tallene som deler 8.
Eksempel 1 - Små, positive heltall
Vi er ute etter to tall som er slik at summen av dem er 5, og produktet av dem er 6.
Konstantleddet c her er 6. Hvilke tall er det som deler 6? Jo, det er 1, 2, 3, 6. Hvilke to tall herfra er det som summes til 5, og ganges til 6?
Vel, 2 og 3 kan jo funke. Vi vet at 2+3 = 5, og 2*3 = 6. Vi setter dem inn og tester: $$(x+2)(x+3) = x^2 + 2x + 3x + 2\cdot3 = \boxed{x^2 + 5x + 6}$$ Det stemmer! Vi har faktorisert $x^2 + 5x + 6$ til $(x+2)(x+3)$ uten å bruke ABC-formelen.
Ikke bare det, men nå er det også lett å se at nullpunktene til dette polynomet er $x=-2$ og $x=-3$, som bare er de to tallene vi fant, men med motsatt fortegn.
Ja, dette er litt annerledes enn å bruke en formel, fordi denne metoden krever at man prøver og feiler litt. Dersom man har gjort mange slike oppgaver så er det mange polynomer man husker faktoriseringa på. Og i andre tilfeller der man har "lette" koeffisienter som 5 og 6 her, så kan man tenke seg frem til det.
I verste fall så finner vi ikke tallene vi leter etter. Men da er det alltids bare å bruke ABC-formelen i stedet.
Det fine er at dette er noe man kan øve på. Vi skal se på noen litt vanskeligere eksempler, og jeg skal gi deg flere triks som gjør dette lettere.
Eksempel 2 - Negativ c-verdi
Det er her det blir interessant. Vi har $c=-8$, så vi kan finne tallene vi ser etter blant 1, 2, 4, 8.
Når vi har en negativ c-verdi (her er den -8), så må en av de to tallene være negativ, og den andre positiv. Dette er fordi det er kun positiv * negativ som blir negativt.
Men vi har noe her som gjør at vi kan stramme inn søket enda mer.
Siden summen av tallene skal være 2, og de skal ha motsatt fortegn, så må de to tallene ha en "avstand" på 2.
Blant 1, 2, 4, 8 så er det paret 2 og 4 som har en "avstand" på 2. Og jeg setter "avstand" i hermetegn fordi den ene skal være positiv og den andre negativ, så den faktiske differansen mellom dem vil være 6. Så med "avstand" så mener jeg her avstanden mellom de positive verdiene 2 og 4.
Ok, vi har fastslått at det er 2 og 4 vi er ute etter, men hvilken skal være positiv og hvilken skal være negativ?
Vel, $(x {\color{red}{+2}} )(x {\color{red}{-4}} )$ funker ikke, fordi da får vi $x^2 {\color{red}{- 2}}x - 8$, fordi b-leddet blir $\color{red}{+2-4} = -2$. Så det vi er ute etter er $(x{\color{yellow}{-2}})(x{\color{yellow}{+4}}) = \boxed{x^2 {\color{yellow}{+ 2}}x - 8}$.
Med litt erfaring så ser man kjapt at det er -2+4 og ikke +2-4 som gir positiv sum og negativt produkt.
Eksempel 3 - Negativ b, positiv c
Denne blir litt annerledes, fordi vi kan ikke bruke b som "avstand". Men vi har et annet viktig hint.
Siden summen er negativ, og produktet er positivt, så er vi ute etter to negative tall.
Først og fremst, hvilke tall er 20 delelig på? Det blir 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Det er kjapt gjort å se at det er paret 4 og 5 som gir et produkt på 20. Vi kan også sjekke kjapt at summen blir 9.
Men som sagt, her må de begge være negative, så vi får at
$$\begin{align*} (x-4)(x-5) &= x^2 - 4x - 5x + (-4)(-5) \\ &= x^2 -9x + 20 \end{align*}$$
Prøv selv
Prøv å faktoriser disse selv.
- $x^2 + 4x + 4$
- $x^2 + 2x + 1$
- $x^2 - 2x - 35$
- $x^2 + 2x - 35$
- $x^2 + x + \frac14$
Har du spørsmål?
Hvis du har spørsmål eller ønsker å diskutere innholdet her, ta gjerne kontakt på Discord eller e-post. Kontaktinfo her.