Når funksjoner har ubegrenset definisjonsmengde

En ting som gjør slike oppgaver forholdsvis lette, er når funksjonen er, for eksempel $$f(x) = x^2$$ Det som gjør dette lettere enn andre funksjoner, er at vi kan la $x$ være et hvilket som helst reelt tall, og funksjonen fungerer. Da kan vi si at $D_f = \mathbb R$.

En vanlig strategi for å verifisere dette kan ofte være å dele opp den potensielle definisjonsmengden i positive tall, negative tall, og null.

For eksempel: Hvis $f(x) = x^2$, så kan du verifisere at positive $x$-verdier gir en ny positiv verdi for $f(x)$. Tilsvarende for negative $x$-verdier, så får du også en ny positiv $f(x)$-verdi. Og hvis $x = 0$ så vil $f(x) = 0$.

Det finnes selvfølgelig unntak til dette, der vi bruker funksjonen til å modellere noe i det virkelige liv, og det ikke gir mening å tenke på $x<0$. For eksempel hvis $x$ er tida som går og $x = 0$ er starten på observasjonene. Da gir det kun mening å tenke på $x \geq 0$ og vi innfører $D_f = [0, \ \infty)$ selv.

Andre ganger må definisjonsmengden begrenses fordi vi bruker funksjoner som gir udefinerte verdier for enkelte $x$-verdier. Vi tar noen eksempler.

Brøker med $x$ i nevner

Et veldig vanlig eksempel er brøker der vi har en variabel i nevneren. La oss først se på $$\displaystyle f(x) = \frac 1x$$ Som vi vet, så kan vi ikke dele på 0. Det vil si at dersom $x=0$ her, så vil ikke funksjonen gi en entydig, definert verdi. Derfor må vi ekskludere $x=0$ fra definisjonsmengden. Både positive og negative $x$-verdier fungerer fint, og vi får derfor $$D_f = \mathbb R \setminus \{ 0 \}$$ Dette leses "definisjonsmengden til $f$ er alle reelle tall, bortsett fra 0".

Andre funksjoner som kan ha 0 i nevner

La $$g(x) = \frac{5}{x^2 - 4}$$ Her må vi igjen ta høyde for at det finnes $x$-verdier som gjør at vi får 0 i nevner. Hvilke $x$-verdier er det? $$ \begin{align} x^2 - 4 &= 0 \\ (x-2)(x+2) &= 0 \\ \boxed{x=2 \vee x=-2} \end{align} $$ Så dersom x er 2 eller -2, så får vi 0 i nevner, og disse verdiene kan derfor ikke være i definisjonsmengden til $g$. Alle andre reelle verdier fungerer fint, så vi får $$D_g = \mathbb R \setminus \{ -2, 2 \}$$

Kvadratrøtter

Som du sikkert vet, så er det "ikke lov" å ta kvadratrota av negative tall. Det betyr at hvis vi har funksjonen $$h(x) = \sqrt x$$ så kan ikke x være et negativt tall. Vi må begrense definisjonsmengden til de positive tallene, samt 0, og får $$D_h = [0, \ \infty)$$

Grunnen til at jeg setter "ikke lov" i hermetegn er fordi det ER lov. Men kvadratrota av negative tall er et konsept som vanligvis ikke utforskes før på høyskole/universitet. Vi kaller disse "komplekse tall".

Komplekse tall er en egen kategori av tall som for det meste ligger utenfor de reelle tallene, så vi skal ikke bruke så mye tid på det her. Men hvis du er spesielt nysgjerrig, så kan du se noen videoer jeg har laga om dem her.

Logaritmer

Det er ikke bare brøker med 0 i nevner som er udefinert. Logaritmer er spesielle fordi $\log(0)$ også er udefinert. Det gjelder både $\ln(0), \ \lg(0)$ og logaritmer med alle grunntall (bortsett fra 0, men det gir sjeldent mening å snakke om $\log_0(x)$).

Logaritmen av et negativt tall er også et spesielt tilfelle, fordi hvis vi prøver å betrakte for eksempel $\ln(-5)$ så vil resultatet være et komplekst tall.

Som et eksempel, la oss si vi har funksjonen $$f(x) = x^2 \ln(3x+1)$$ Et litt sammensatt uttrykk, men det er fort gjort å finne definisjonsmengden. Selve logaritmeuttrykket må vi passe på er slik at det som står inni logaritmen er større enn null. $$\displaystyle \begin{align} 3x+1 &> 0 \\ 3x &> -1 \\ x &> -\frac13 \end{align} $$ Så definisjonsmengden til $\ln(3x+1)$ er $(-\frac13, \ \infty)$

Men hva med $x^2$ som er multiplisert på? Vel, den faktoren utgjør ingen forskjell. Den tar alle de reelle tallene, så logaritmeuttrykket er den eneste begrensninga.

Med andre ord, hvis $f(x) = x^2 \ln(3x+1)$, så er $D_f = (-\frac13, \ \infty)$.

Ekstra oppgaver

Som en oppgave for å se om du har forstått det, avgjør definisjonsmengden til følgende funksjoner. $$\displaystyle \begin{align} f(x) &= \frac{1}{\sin(x)} \\ \\ g(x) &= \ln(\sqrt x) \\ \\ h(x) &= \sqrt{\ln x} \end{align} $$

Ta gjerne kontakt hvis du har spørsmål eller innspill.