Når bruker vi polynomdivisjon?
Polynomdivisjon er et matematisk verktøy vi bruker når vi har en brøk med et polynom i teller og i nevner, og de enten har samme grad, eller teller-polynomet har høyere grad. Dette er noe som er nyttig blant annet når vi
- vet ett eller flere nullpunkter i et polynom, og ønsker å finne flere
- ønsker å skrive uttrykket uten brøk
Eksempel
Polynom på formen $x^2 + bx + c$ kan faktoriseres til $(x-x_0)(x-x_1)$ der $x_0, x_1$ er nullpunktene til polynomet.
Da vet vi at $x^2 + 3x - 4 = (x-x_0)(x-x_1)$.
Vi har fått vite at ett av nullpunktene til $P$ er $\color{yellow}{x=1}$. Da må det være slik at $$x^2 + 3x - 4 = (x-x_0)(x-\color{yellow}1)$$ Dette er fordi at hvis $x=1$ så vil $(x-1) = 0$, som gjør hele høyre side lik null. Og siden høyre og venstre side er lik, så gjør det også venstre side lik null.
Hvis vi deler på $(x-1)$ på begge sider av denne likninga får vi $$\frac{x^2 + 3x - 4}{x-1} = x-x_0$$ og det er her polynomdivisjon blir nyttig. Brøken $\displaystyle \frac{x^2 + 3x - 4}{x-1}$ kan skrives som delestykket $$(x^2 + 3x - 4) : (x-1) = \ \ldots$$ og svaret vil gi oss den andre faktoren, og dermed det andre nullpunktet.
Utregning
$$ \begin{matrix} &(x^2 & + & 3x & - & 4) &: &(x - 1) & = \\ \end{matrix} $$ Vi deler det første leddet i dividenden ($x^2$) på det første leddet i divisoren ($x$). Altså $x^2 / x = x$, så $\color{yellow}x$ blir det første leddet i svaret. $$ \begin{matrix} &(x^2 & + & 3x & - & 4) &: &(x - 1) & = \color{yellow}x \\ \end{matrix} $$ Deretter tar vi denne $\color{yellow}x$'en og ganger den med divisoren $(x-1)$, får $x^2 - x$, og trekker det fra dividenden. Merk, dette er samme prosedyre som vanlig divisjon med tall. $$ \begin{matrix} &(x^2 & + & 3x & - & 4) &: &(x - 1) & = x \\ -&\color{yellow}{(x^2} & \color{yellow}- & \color{yellow}x) \\ & & & \color{yellow}{4x} & \color{yellow}- & \color{yellow}4 \\ \end{matrix} $$ Herfra gjør vi akkurat det samme, men nå er det $4x-4$ som skal deles på $x-1$. Vi deler $4x$ på $x$ og får $\color{yellow}4$. $$ \begin{matrix} &(x^2 & + & 3x & - & 4) &: &(x - 1) & = x & \color{yellow}+ & \color{yellow}4 \\ -&(x^2 & - & x) \\ & & & 4x & - & 4 \\ \end{matrix} $$ Som i sted, så tar vi dette resultatet $4$, ganger det med divisoren $x-1$, som blir $\color{yellow}{4x-4}$, og subtraherer det fra resten vi har så langt. $$ \begin{matrix} &(x^2 & + & 3x & - & 4) &: &(x - 1) & = \underline{\underline{x + 4}} \\ -&(x^2 & - & x) \\ & & & 4x & - & 4 \\ -& & & \color{yellow}{(4x} & \color{yellow}- & \color{yellow}{4)} \\ & & & & 0 \\ \end{matrix} $$
Konkludering fra svaret
Vi har konkludert at $$\frac{x^2+3x-4}{x-1} = x+4$$ Hvis vi ganger med $x-1$ på begge sider får vi at $$x^2 + 3x-4 = (x-1)(x+4)$$ som betyr at polynomet har nullpunktene $x=1$ og $x=-4$.
OBS! Merk at $1$ og $-4$ er leddene fra de to parentesuttrykkene men med motsatt fortegn. Dette er fordi faktoriseringa av polynom er $(x{\color{red}-}x_0)(x{\color{red}-}x_1)$, altså med minustegn.
Mer informasjon
Jeg har mange videoer om polynomdivisjon med flere eksempler og mer fordypning.
- spilleliste med alle videoene om polynomdivisjon (teori og eksempler)
- undersøker om polynomdivisjonen går opp (eksamensoppgave fra 2013)
- løser en tredjegrads ulikhet med polynomdivisjon (eksamensoppgave fra 2013)
- faktorisering av tredjegradsuttrykk (eksamensoppgave fra 2013)
Har du spørsmål?
Hvis du har spørsmål eller ønsker å diskutere innholdet her, ta gjerne kontakt på Discord eller e-post. Kontaktinfo her.