Formelen

$$\displaystyle \int u(x) \cdot v'(x) \mathrm dx = u(x)\cdot v(x) - \int u'(x)\cdot v(x)\mathrm dx$$

Innledningsvis så ser dette ut som en formel som kan være vanskelig å bruke, men hovedsaken er at det er et verktøy vi ofte prøver når vi skal integrere et produkt. På samme måte som at vi har produktregelen for derivasjon, så er dette en produktregel for integrasjon. Men integrasjon er ikke like rett frem som derivasjon.

Når skal vi bruke delvis integrasjon?

Integrasjon er slik at det ikke finnes klare regler som sier når noe kommer til å fungere. Hvis du er vant til å regne derivasjoner, så vil integrasjon være helt annerledes på den måten. Derivasjon er mye "klarere på reglene".

Med det sagt så har vi en produktregel for derivasjon som du sikkert er kjent med. Og delvis integrasjon er en slags produktregel for integraler, men som har litt annerledes regneteknikk, og som har en god sjanse for å likevel ikke fungere.

Eksempel

Vi skal utføre integrasjonen $$\int x \ln x \mathrm dx$$ Vi må nå velge hvilken faktor som skal være $u(x)$ og hvilken som skal være $v'(x)$.

Vi ser at for å bruke formelen, så må vi derivere den ene faktoren, og antiderivere den andre. Dette fordi vi skal velge en $u(x)$, men i formelen må vi også vite $u'(x)$. Samtidig skal vi velge en $v'(x)$, men formelen krever at vi da vet $v(x)$.

Vi kan velge $u(x) = \ln x$ som gir $u'(x) = \frac 1x$.

Da får vi $v'(x) = x$ som gir $v(x) = \frac12 x^2$.

For oversiktens del så liker jeg personlig å sette dem opp i en tabell. $$ \require{color} \begin{array}{|c|c|} \hline \color{yellow}{u(x) = \ln x} & u'(x) = \frac1x \\ \hline v(x) = \frac12x^2 & \color{yellow}{v'(x) = x} \\ \hline \end{array} $$ De verdiene vi valgte fra integralet er markert i gult. De verdiene vi måtte regne ut er i hvitt.

Vi setter dette inn i formelen og får $$\displaystyle \begin{align} \int \overbrace{x}^{v'(x)} \overbrace{\ln x}^{u(x)} \mathrm dx &= \overbrace{\ln x}^{u(x)} \cdot \overbrace{\frac12 x^2}^{v(x)} - \int \overbrace{\frac1x}^{u'(x)} \overbrace{\frac12 x^2}^{v(x)}\mathrm dx \\ \\ &= \frac12 x^2 \ln x - \frac12 \int x \mathrm dx \\ \\ &= \frac12 x^2 \ln x - \frac12 \cdot \frac12 x^2 + C \\ \\ &= \frac12 x^2 \ln x - \frac14 x^2 + C \\ \\ &\underline{\underline{= \frac14 x^2 (2 \ln x - 1) + C}} \end{align} $$ Hvor mye forenkling vi gjør er ikke så viktig akkurat nå, men vi har hvertfall integrert et produkt!

En ting som er viktig å merke her, er at hvis du bytter om på hva du anser som $u(x)$ og $v'(x)$, så får du helt forskjellige mellomregninger. Noen ganger er det bare ett av valgene som fører frem. Andre ganger fører begge frem. Og i noen tilfeller vil "feil" valg møte en murvegg. Så selv om du møter en murvegg i regninga di, husk at du kan gå tilbake og bytte om på $u$ og $v'$ for å se om det blir bedre.

Vi skal i neste omgang gå gjennom et bevis for formelen, og deretter skal vi ta flere eksempler.

Bevis for formelen for delvis integrasjon

Produktregelen for derivasjon forteller oss at $$\displaystyle [u(x)\cdot v(x)]' = u(x) \cdot v'(x) + u'(x) \cdot v(x)$$ Vi integrerer mhp. x på begge sider av likhetstegnet og får $$\displaystyle \int [u(x)\cdot v(x)]' \mathrm dx = \int \left[u(x) \cdot v'(x) + u'(x) \cdot v(x)\right] \mathrm dx$$ Siden derivasjon og integrasjon er inverse operasjoner, vil vi på venstre side oppleve at integralet og derivasjonen opphever hverandre. På høyre side kan vi integrere hvert ledd for seg. $$\displaystyle u(x) \cdot v(x) = \int u(x) \cdot v'(x) \mathrm dx + \int u'(x) \cdot v(x) \mathrm dx$$ Vi "flytter og bytter" leddene, og får

$$\displaystyle \int u(x) \cdot v'(x) \mathrm dx = u(x)\cdot v(x) - \int u'(x)\cdot v(x)\mathrm dx$$

Vi ser at dette blir en slags produktregel for integrasjon, selv om vi ikke ofte kaller det "produktregelen".

Tips til valg av $u$ og $v'$

Se på formelen igjen. Legg merke til at etter vi har valgt $u$ og $v'$, så ser vi at når vi skal regne videre så skal vi jobbe videre med $u, \ u', \ v$. Vi skal ikke lengre bearbeide den $v'$ vi valgte.

Derfor er det lurt å tenke at vi velger en $u$ som blir forenklet etter derivasjon. I eksempelet på starten så valgte jeg $u = \ln x$ fordi $u' = \frac1x$ og andre potenser av x er lett å både derivere og integrere.

Når vi velger $v' = x$ i eksempelet over, så vil $v = \frac12x^2$ som er et litt verre uttrykk enn bare x, men fremdeles lett å arbeide videre med. Alle polynomfunksjoner anses for å være lette å derivere og integrere, og $\frac12x^2$ er akkurat det; et polynom.

Med det sagt, så er det aldri krise å velge feil. Det er alltid bare to mulige valg, og hvis den ene ikke fører frem, så kan du alltids bare starte på nytt og teste den andre.

Mer eksempel

$$\int (3x+7) \sin x \mathrm dx$$ Når vi nå skal velge $u$ og $v'$, legg merke til følgende; $\sin x$ blir en cosinus-funksjon enten vi deriverer eller integrerer det. $3x+7$ lar seg forenkle ved å derivere det, så vi lar $u(x) = 3x+7$ og $v'(x) = \sin x$. $$ \require{color} \begin{array}{|c|c|} \hline \color{yellow}{u(x) = 3x+7} & u'(x) = 3 \\ \hline v(x) = -\cos x & \color{yellow}{v'(x) = \sin x} \\ \hline \end{array} $$ Vi setter dette inn i formelen for delvis integrasjon. $$ \displaystyle \begin{align} \int u(x) v'(x) \mathrm dx &= u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) \mathrm dx \\ \\ \int (3x+7) \cdot \sin x \mathrm dx &= (3x+7) \cdot (-\cos x) - \int 3(-\cos x) \mathrm dx \\ \\ &= -(3x+7)\cos x + 3\int \cos x \mathrm dx \\ \\ &= \underline{\underline{-(3x+7)\cos x + 3 \sin x + C}} \end{align} $$

Mer om delvis integrasjon

Jeg har laga en del videoer med flere eksempler og triks i delvis som du kan se her.

Du kan også ta kontakt hvis du har spørsmål eller innspill til artikkelen.