Før vi begynner med implisitt derivasjon, må vi forstå hva en implisitt funksjon er.
Hva er en implisitt funksjon?
Vanligvis når vi deriverer funksjoner, så har vi "veldefinerte" funksjoner på formen $y = f(x)$. For eksempel
- $y = x^2$
- $y = 3e^x$
- $y = \sin(x)$
Det som gjør disse "enkle" er at vi har $y$ på én side, og en eller annen funksjon av $x$ på den andre siden. Men det de gjør er å definere en kurve i planet som vi kan bruke derivasjon for å drøfte stigningen av.
Det kunne like godt tenke seg at man fikk kurven på formen $\displaystyle\frac y3 = e^x$, men selv da kan vi "løse" likninga for $y$ og få $y = 3e^x$.
Men hva om vi får en kurve som ikke lar seg beskrive slik at $y$ er en funksjon av $x$? For eksempel
$$x^2 + y^2 = 25$$
Vi kan godt isolere $y$ og få $y = \pm\sqrt{25-x^2}$ men det er to problemer her:
- dette er ikke strengt tatt en "funksjon", siden det finnes x-verdier som gir to forskjellige y-verdier, for eksempel $y(4)$ gir både $3$ og $-3$. Per definisjon så må det kun finnes EN y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden
- vi har også to forskjellige stigningstall for mesteparten av x-verdiene i definisjonsmengden
Hvis vi lar x=4, så får vi disse to punktene.
Og disse to punktene har naturligvis forskjellige stigningstall; et for $y>0$ og et for $y<0$.
Og dette bunner ut i at vi ikke kan si at y er en "funksjon" av x, siden forholdet mellom x og y her ikke tillater det med tanke på definisjonen av en funksjon. Men vi tillater oss likevel å si at vi kan anse y for å være en "implisitt funksjon" av x. Ellers kan vi alltids bare kalle en spade for en spade, og si at det vi betrakter her er "kurven som defineres av likninga $x^2 + y^2 = 25$".
Så hvordan deriverer vi dette?
Implisitt derivasjon
Gitt denne kurven $x^2 + y^2 = 25$, la oss gjøre det vi gjør med likninger, som er å alltid gjøre det samme på begge sider av likhetstegnet! Og det vi skal gjøre her er å derivere begge sider mhp. variabelen x.
$$x^2 + y^2 = 25$$
På venstre side deriverer vi ledd for ledd (som vi alltid gjør).
- Den deriverte av $x^2$ med hensyn på $x$ er $2x$
- Den deriverte av $y^2$ med hensyn på $x$ blir (ved hjelp av kjerneregelen), $2y\cdot y'$
- På høyre side deriverer vi en konstant og får 0
$$2x + 2y\cdot y' = 0$$
Merk nå at vi har $y'$. Dette er det vi er ute etter. Kall det gjerne $y'$ eller $y'(x)$ eller $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$, det går for det samme. Det er funksjonen som gir oss stigningstallet til punktene på denne kurven.
Så vi løser nå denne likninga for $y'$, og får
$$y' = -\frac{2x}{2y}$$
Og hva betyr dette? Vel, vi kan nå sette inn punkter $(x, y)$ i denne funksjonen og får stigningstallet i dette punktet på kurven. Ta for eksempel punktene der $x=4$. Vi har sett at dette gir to forskjellige punkter på kurven; altså $(4, 3)$ og $(4, -3)$.
Punktet $(4, 3)$ gir $$\displaystyle y' = -\frac{2x}{2y} = -\frac{8}{6} = -\frac43$$ så stigningstallet i dette punktet er negativt. Dette ser vi også visuelt.
Samme utregning for det andre punktet, $(4, -3)$ gir positivt stigningstall.
$$\displaystyle y' = -\frac{2x}{2y} = -\frac{8}{-6} = \frac43$$
Har du spørsmål?
Hvis du har spørsmål eller ønsker å diskutere innholdet her, ta gjerne kontakt på Discord eller e-post. Kontaktinfo her.